序数回归¶
[1]:
import numpy as np
import pandas as pd
import scipy.stats as stats
from statsmodels.miscmodels.ordinal_model import OrderedModel
从 UCLA 网站加载 stata 数据文件。此笔记本的灵感来自 https://stats.idre.ucla.edu/r/dae/ordinal-logistic-regression/，它是 UCLA 的一个 R 笔记本。
[2]:
url = "https://stats.idre.ucla.edu/stat/data/ologit.dta"
data_student = pd.read_stata(url)
[3]:
data_student.head(5)
[3]:
| apply | pared | public | gpa | |
|---|---|---|---|---|
| 0 | 非常有可能 | 0 | 0 | 3.26 |
| 1 | 有点可能 | 1 | 0 | 3.21 |
| 2 | 不可能 | 1 | 1 | 3.94 |
| 3 | 有点可能 | 0 | 0 | 2.81 |
| 4 | 有点可能 | 0 | 0 | 2.53 |
[4]:
data_student.dtypes
[4]:
apply category
pared int8
public int8
gpa float32
dtype: object
[5]:
data_student['apply'].dtype
[5]:
CategoricalDtype(categories=['unlikely', 'somewhat likely', 'very likely'], ordered=True, categories_dtype=object)
此数据集是关于本科生在给定三个外生变量的情况下申请研究生院的概率： - 他们的平均绩点(gpa)，介于 0 到 4 之间的浮点数。 - pared，一个表示至少有一位父母上过研究生的二进制值。 - 以及 public，一个表示学生当前就读的本科院校是公立还是私立的二进制值。
apply，目标变量是类别变量，具有有序类别：unlikely < somewhat likely < very likely。它是一个 pd.Serie 类别类型，这比 NumPy 数组更可取。
该模型基于一个我们无法观察到的数值潜变量 \(y_{latent}\)，但我们可以通过外生变量计算出来。此外，我们可以使用此 \(y_{latent}\) 来定义我们可以观察到的 \(y\)。
有关更多详细信息，请参阅 OrderedModel 的文档，UCLA 网页 或这本 书。
Probit 序数回归:¶
[6]:
mod_prob = OrderedModel(data_student['apply'],
data_student[['pared', 'public', 'gpa']],
distr='probit')
res_prob = mod_prob.fit(method='bfgs')
res_prob.summary()
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.896869
Iterations: 17
Function evaluations: 21
Gradient evaluations: 21
[6]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -358.75 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 727.5 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 747.5 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:00 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 0.5981 | 0.158 | 3.789 | 0.000 | 0.289 | 0.908 |
| public | 0.0102 | 0.173 | 0.059 | 0.953 | -0.329 | 0.349 |
| gpa | 0.3582 | 0.157 | 2.285 | 0.022 | 0.051 | 0.665 |
| 不可能/有点可能 | 1.2968 | 0.468 | 2.774 | 0.006 | 0.381 | 2.213 |
| 有点可能/非常可能 | 0.1873 | 0.074 | 2.530 | 0.011 | 0.042 | 0.332 |
在我们的模型中，我们有 3 个外生变量（如果我们保留文档的符号，则为 \(\beta\)），因此我们需要估计 3 个系数。
这 3 个估计值及其标准误可以在摘要表中找到。
由于目标变量中有 3 个类别（unlikely、somewhat likely、very likely），因此我们有两个阈值需要估计。正如方法 OrderedModel.transform_threshold_params 的文档中所解释的那样，第一个估计阈值是实际值，所有其他阈值都是以累积指数增量表示的。实际阈值可以按如下方式计算
[7]:
num_of_thresholds = 2
mod_prob.transform_threshold_params(res_prob.params[-num_of_thresholds:])
[7]:
array([ -inf, 1.29684541, 2.50285885, inf])
Logit 序数回归:¶
[8]:
mod_log = OrderedModel(data_student['apply'],
data_student[['pared', 'public', 'gpa']],
distr='logit')
res_log = mod_log.fit(method='bfgs', disp=False)
res_log.summary()
[8]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -358.51 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 727.0 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 747.0 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:00 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 1.0476 | 0.266 | 3.942 | 0.000 | 0.527 | 1.569 |
| public | -0.0586 | 0.298 | -0.197 | 0.844 | -0.642 | 0.525 |
| gpa | 0.6158 | 0.261 | 2.363 | 0.018 | 0.105 | 1.127 |
| 不可能/有点可能 | 2.2035 | 0.780 | 2.827 | 0.005 | 0.676 | 3.731 |
| 有点可能/非常可能 | 0.7398 | 0.080 | 9.236 | 0.000 | 0.583 | 0.897 |
[9]:
predicted = res_log.model.predict(res_log.params, exog=data_student[['pared', 'public', 'gpa']])
predicted
[9]:
array([[0.54884071, 0.35932276, 0.09183653],
[0.30558191, 0.47594216, 0.21847593],
[0.22938356, 0.47819057, 0.29242587],
...,
[0.69380357, 0.25470075, 0.05149568],
[0.54884071, 0.35932276, 0.09183653],
[0.50896793, 0.38494062, 0.10609145]])
[10]:
pred_choice = predicted.argmax(1)
print('Fraction of correct choice predictions')
print((np.asarray(data_student['apply'].values.codes) == pred_choice).mean())
Fraction of correct choice predictions
0.5775
使用自定义累积 cLogLog 分布的序数回归:¶
除了 logit 和 probit 回归之外，SciPy.stats 包中的任何连续分布都可以用于 distr 参数。或者，可以通过简单地从 rv_continuous 创建子类并实现一些方法来定义自己的分布。
[11]:
# using a SciPy distribution
res_exp = OrderedModel(data_student['apply'],
data_student[['pared', 'public', 'gpa']],
distr=stats.expon).fit(method='bfgs', disp=False)
res_exp.summary()
[11]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -360.84 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 731.7 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 751.6 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:01 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 0.4690 | 0.117 | 4.021 | 0.000 | 0.240 | 0.698 |
| public | -0.1308 | 0.149 | -0.879 | 0.379 | -0.422 | 0.161 |
| gpa | 0.2198 | 0.134 | 1.638 | 0.101 | -0.043 | 0.483 |
| 不可能/有点可能 | 1.5370 | 0.405 | 3.792 | 0.000 | 0.742 | 2.332 |
| 有点可能/非常可能 | 0.4082 | 0.093 | 4.403 | 0.000 | 0.226 | 0.590 |
[12]:
# minimal definition of a custom scipy distribution.
class CLogLog(stats.rv_continuous):
def _ppf(self, q):
return np.log(-np.log(1 - q))
def _cdf(self, x):
return 1 - np.exp(-np.exp(x))
cloglog = CLogLog()
# definition of the model and fitting
res_cloglog = OrderedModel(data_student['apply'],
data_student[['pared', 'public', 'gpa']],
distr=cloglog).fit(method='bfgs', disp=False)
res_cloglog.summary()
[12]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -359.75 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 729.5 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 749.5 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:01 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 0.5167 | 0.161 | 3.202 | 0.001 | 0.200 | 0.833 |
| public | 0.1081 | 0.168 | 0.643 | 0.520 | -0.221 | 0.438 |
| gpa | 0.3344 | 0.154 | 2.168 | 0.030 | 0.032 | 0.637 |
| 不可能/有点可能 | 0.8705 | 0.455 | 1.912 | 0.056 | -0.022 | 1.763 |
| 有点可能/非常可能 | 0.0989 | 0.071 | 1.384 | 0.167 | -0.041 | 0.239 |
使用公式 - 内生变量的处理¶
Pandas 的有序分类和数值值在公式中受支持作为因变量。其他类型将引发 ValueError。
[13]:
modf_logit = OrderedModel.from_formula("apply ~ 0 + pared + public + gpa", data_student,
distr='logit')
resf_logit = modf_logit.fit(method='bfgs')
resf_logit.summary()
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.896281
Iterations: 22
Function evaluations: 24
Gradient evaluations: 24
[13]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -358.51 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 727.0 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 747.0 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:02 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 1.0476 | 0.266 | 3.942 | 0.000 | 0.527 | 1.569 |
| public | -0.0586 | 0.298 | -0.197 | 0.844 | -0.642 | 0.525 |
| gpa | 0.6158 | 0.261 | 2.363 | 0.018 | 0.105 | 1.127 |
| 不可能/有点可能 | 2.2035 | 0.780 | 2.827 | 0.005 | 0.676 | 3.731 |
| 有点可能/非常可能 | 0.7398 | 0.080 | 9.236 | 0.000 | 0.583 | 0.897 |
使用因变量的数值代码是支持的，但会丢失类别级别的名称。级别和名称对应于因变量的唯一值，按字母数字顺序排序，如不使用公式的情况一样。
[14]:
data_student["apply_codes"] = data_student['apply'].cat.codes * 2 + 5
data_student["apply_codes"].head()
[14]:
0 9
1 7
2 5
3 7
4 7
Name: apply_codes, dtype: int8
[15]:
OrderedModel.from_formula("apply_codes ~ 0 + pared + public + gpa", data_student,
distr='logit').fit().summary()
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.896281
Iterations: 421
Function evaluations: 663
[15]:
| 因变量 | apply_codes | 对数似然 | -358.51 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 727.0 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 747.0 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:02 | ||
| 观测值数量 | 400 | ||
| 残差自由度 | 395 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 1.0477 | 0.266 | 3.942 | 0.000 | 0.527 | 1.569 |
| public | -0.0587 | 0.298 | -0.197 | 0.844 | -0.642 | 0.525 |
| gpa | 0.6157 | 0.261 | 2.362 | 0.018 | 0.105 | 1.127 |
| 5.0/7.0 | 2.2033 | 0.780 | 2.826 | 0.005 | 0.675 | 3.731 |
| 7.0/9.0 | 0.7398 | 0.080 | 9.236 | 0.000 | 0.583 | 0.897 |
[16]:
resf_logit.predict(data_student.iloc[:5])
[16]:
| 0 | 1 | 2 | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.548841 | 0.359323 | 0.091837 |
| 1 | 0.305582 | 0.475942 | 0.218476 |
| 2 | 0.229384 | 0.478191 | 0.292426 |
| 3 | 0.616118 | 0.312690 | 0.071191 |
| 4 | 0.656003 | 0.283398 | 0.060599 |
直接使用字符串值作为因变量会导致 ValueError。
[17]:
data_student["apply_str"] = np.asarray(data_student["apply"])
data_student["apply_str"].head()
[17]:
0 very likely
1 somewhat likely
2 unlikely
3 somewhat likely
4 somewhat likely
Name: apply_str, dtype: object
[18]:
data_student.apply_str = pd.Categorical(data_student.apply_str, ordered=True)
data_student.public = data_student.public.astype(float)
data_student.pared = data_student.pared.astype(float)
[19]:
OrderedModel.from_formula("apply_str ~ 0 + pared + public + gpa", data_student,
distr='logit')
[19]:
<statsmodels.miscmodels.ordinal_model.OrderedModel at 0x7fecb8fbd420>
使用公式 - 模型中没有常数¶
OrderedModel 的参数化要求模型中没有常数，无论是显式还是隐式。常数等同于移动所有阈值，因此无法单独识别。
如果解释变量中存在分类变量（或可能是样条曲线），Patsy 的公式规范不允许没有显式或隐式常数的设计矩阵。作为解决方法，statsmodels 会删除显式截距。
因此，有两种有效的情况可以获得没有截距的设计矩阵。
指定没有显式和隐式截距的模型，如果模型中只有数值变量，则可以实现。
指定带有显式截距的模型，statsmodels 将删除该截距。
具有隐式截距的模型将过度参数化，参数估计将无法完全识别，cov_params 将不可逆，标准误可能包含 NaN。
在下文中，我们将查看一个包含附加分类变量的示例。
[20]:
nobs = len(data_student)
data_student["dummy"] = (np.arange(nobs) < (nobs / 2)).astype(float)
显式截距，将被删除
请注意，“1 +” 在此处是多余的，因为它是 patsy 的默认值。
[21]:
modfd_logit = OrderedModel.from_formula("apply ~ 1 + pared + public + gpa + C(dummy)", data_student,
distr='logit')
resfd_logit = modfd_logit.fit(method='bfgs')
print(resfd_logit.summary())
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.896247
Iterations: 26
Function evaluations: 28
Gradient evaluations: 28
OrderedModel Results
==============================================================================
Dep. Variable: apply Log-Likelihood: -358.50
Model: OrderedModel AIC: 729.0
Method: Maximum Likelihood BIC: 752.9
Date: Thu, 03 Oct 2024
Time: 15:51:03
No. Observations: 400
Df Residuals: 394
Df Model: 4
===============================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
C(dummy)[T.1.0] 0.0326 0.198 0.164 0.869 -0.356 0.421
pared 1.0489 0.266 3.945 0.000 0.528 1.570
public -0.0589 0.298 -0.198 0.843 -0.643 0.525
gpa 0.6153 0.261 2.360 0.018 0.104 1.126
unlikely/somewhat likely 2.2183 0.785 2.826 0.005 0.680 3.757
somewhat likely/very likely 0.7398 0.080 9.237 0.000 0.583 0.897
===============================================================================================
[22]:
modfd_logit.k_vars
[22]:
4
[23]:
modfd_logit.k_constant
[23]:
0
隐式截距会创建过度参数化的模型
在公式中指定“0 +” 会删除显式截距。但是，现在分类编码已更改为包含隐式截距。在此示例中，创建的虚拟变量 C(dummy)[0.0] 和 C(dummy)[1.0] 之和为 1。
OrderedModel.from_formula("apply ~ 0 + pared + public + gpa + C(dummy)", data_student, distr='logit')
要查看过度参数化情况下会发生什么，我们可以通过明确指定常数是否存在来避免模型中的常数检查。我们使用 hasconst=False，即使模型具有隐式常数。
两个虚拟变量列的参数和第一个阈值无法单独识别。这些参数的估计值和标准误的可用性是任意的，并且取决于不同环境中不同的数值细节。
一些摘要度量（如对数似然值）不受此影响，在收敛容差和数值精度范围内。预测也应该是可能的。但是，推断不可用，或者无效。
[24]:
modfd2_logit = OrderedModel.from_formula("apply ~ 0 + pared + public + gpa + C(dummy)", data_student,
distr='logit', hasconst=False)
resfd2_logit = modfd2_logit.fit(method='bfgs')
print(resfd2_logit.summary())
Optimization terminated successfully.
Current function value: 0.896247
Iterations: 24
Function evaluations: 26
Gradient evaluations: 26
OrderedModel Results
==============================================================================
Dep. Variable: apply Log-Likelihood: -358.50
Model: OrderedModel AIC: 731.0
Method: Maximum Likelihood BIC: 758.9
Date: Thu, 03 Oct 2024
Time: 15:51:03
No. Observations: 400
Df Residuals: 393
Df Model: 5
===============================================================================================
coef std err z P>|z| [0.025 0.975]
-----------------------------------------------------------------------------------------------
C(dummy)[0.0] -0.6834 nan nan nan nan nan
C(dummy)[1.0] -0.6508 nan nan nan nan nan
pared 1.0489 nan nan nan nan nan
public -0.0588 nan nan nan nan nan
gpa 0.6153 nan nan nan nan nan
unlikely/somewhat likely 1.5349 nan nan nan nan nan
somewhat likely/very likely 0.7398 nan nan nan nan nan
===============================================================================================
/opt/hostedtoolcache/Python/3.10.15/x64/lib/python3.10/site-packages/statsmodels/base/model.py:595: HessianInversionWarning: Inverting hessian failed, no bse or cov_params available
warnings.warn('Inverting hessian failed, no bse or cov_params '
[25]:
resfd2_logit.predict(data_student.iloc[:5])
[25]:
| 0 | 1 | 2 | |
|---|---|---|---|
| 0 | 0.544858 | 0.361972 | 0.093170 |
| 1 | 0.301918 | 0.476667 | 0.221416 |
| 2 | 0.226434 | 0.477700 | 0.295867 |
| 3 | 0.612254 | 0.315481 | 0.072264 |
| 4 | 0.652280 | 0.286188 | 0.061532 |
[26]:
resf_logit.predict()
[26]:
array([[0.54884071, 0.35932276, 0.09183653],
[0.30558191, 0.47594216, 0.21847593],
[0.22938356, 0.47819057, 0.29242587],
...,
[0.69380357, 0.25470075, 0.05149568],
[0.54884071, 0.35932276, 0.09183653],
[0.50896793, 0.38494062, 0.10609145]])
二元模型与 Logit 的比较¶
如果因变量有序分类变量只有两个级别，则该模型也可以通过 Logit 模型进行估计。
在这种情况下，模型（理论上）是相同的，只是常数的参数化不同。Logit 与大多数其他模型一样，通常需要一个截距。这对应于 OrderedModel 中的阈值参数，但符号相反。
实现方式不同，并且并非所有相同的统计结果和后估计功能都可用。估计的参数和其他统计结果主要根据估计的收敛容差而有所不同。
[27]:
from statsmodels.discrete.discrete_model import Logit
from statsmodels.tools.tools import add_constant
我们将从数据中删除中间类别，并保留两个极端类别。
[28]:
mask_drop = data_student['apply'] == "somewhat likely"
data2 = data_student.loc[~mask_drop, :].copy()
# we need to remove the category also from the Categorical Index
data2['apply'] = data2['apply'].cat.remove_categories("somewhat likely")
data2["apply"].head()
[28]:
0 very likely
2 unlikely
5 unlikely
8 unlikely
10 unlikely
Name: apply, dtype: category
Categories (2, object): ['unlikely' < 'very likely']
[29]:
mod_log = OrderedModel(data2['apply'],
data2[['pared', 'public', 'gpa']],
distr='logit')
res_log = mod_log.fit(method='bfgs', disp=False)
res_log.summary()
[29]:
| 因变量 | apply | 对数似然 | -102.87 |
|---|---|---|---|
| 模型 | OrderedModel | AIC | 213.7 |
| 方法 | 最大似然 | BIC | 228.0 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | ||
| 时间 | 15:51:04 | ||
| 观测值数量 | 260 | ||
| 残差自由度 | 256 | ||
| 模型自由度 | 3 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 1.2861 | 0.438 | 2.934 | 0.003 | 0.427 | 2.145 |
| public | 0.4014 | 0.444 | 0.903 | 0.366 | -0.470 | 1.272 |
| gpa | 0.7854 | 0.489 | 1.605 | 0.108 | -0.174 | 1.744 |
| 不可能/非常可能 | 4.4147 | 1.485 | 2.974 | 0.003 | 1.505 | 7.324 |
Logit 模型默认没有常数，我们必须将其添加到我们的解释变量中。
Logit 和有序模型的结果在本质上是相同的，只是在数值精度方面有所不同，这主要是由于估计中的收敛容差造成的。
唯一的区别在于常数的符号，Logit 和 OrderedModel 的常数符号相反。这是 OrderedModel 中以截止点表示参数化而不是在设计矩阵中包含和常数列的结果。
[30]:
ex = add_constant(data2[['pared', 'public', 'gpa']], prepend=False)
mod_logit = Logit(data2['apply'].cat.codes, ex)
res_logit = mod_logit.fit(method='bfgs', disp=False)
[31]:
res_logit.summary()
[31]:
| 因变量 | y | 观测值数量 | 260 |
|---|---|---|---|
| 模型 | Logit | 残差自由度 | 256 |
| 方法 | MLE | 模型自由度 | 3 |
| 日期 | 周四，2024 年 10 月 3 日 | 伪 R 平方 | 0.07842 |
| 时间 | 15:51:04 | 对数似然 | -102.87 |
| 收敛 | True | LL-Null | -111.62 |
| 协方差类型 | 非稳健 | LLR p 值 | 0.0005560 |
| 系数 | 标准误 | z | P>|z| | [0.025 | 0.975] | |
|---|---|---|---|---|---|---|
| pared | 1.2861 | 0.438 | 2.934 | 0.003 | 0.427 | 2.145 |
| public | 0.4014 | 0.444 | 0.903 | 0.366 | -0.470 | 1.272 |
| gpa | 0.7854 | 0.489 | 1.605 | 0.108 | -0.174 | 1.744 |
| const | -4.4148 | 1.485 | -2.974 | 0.003 | -7.324 | -1.505 |
OrderedModel 中也提供稳健标准误，与离散.Logit 中相同。例如，即使我们有横截面数据，自相关也不合适，我们也会指定 HAC 协方差类型。
[32]:
res_logit_hac = mod_logit.fit(method='bfgs', disp=False, cov_type="hac", cov_kwds={"maxlags": 2})
res_log_hac = mod_log.fit(method='bfgs', disp=False, cov_type="hac", cov_kwds={"maxlags": 2})
[33]:
res_logit_hac.bse.values - res_log_hac.bse
[33]:
pared 9.022236e-08
public -7.249837e-08
gpa 7.653233e-08
unlikely/very likely 2.800466e-07
dtype: float64
上次更新时间：2024 年 10 月 3 日